Question

20．設(shè)點(diǎn)(，0)，和拋物線：y＝x²＋a_n x＋b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到：

   x₁＝1，點(diǎn)P₂(x₂，2)在拋物線C₁：y＝x²＋a₁x＋b₁上，點(diǎn)A₁(x₁，0)到P₂的距離是A₁到C₁上點(diǎn)的最短距離，…，點(diǎn)在拋物線：y＝x²＋a_n x＋b_n上，點(diǎn)(，0)到的距離是 到 上點(diǎn)的最短距離．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)證明{}是等差數(shù)列．

Answer 1

20.解：（Ⅰ）由題意，得

      A₁(1,0)， C₁：y=x²－7x+b₁,

設(shè)點(diǎn)P（x,y）是C₁上任意一點(diǎn)，

則|A₁P|=

      =

令f(x)=（x－1）²+(x²－7x+b₁)²,

則  f’(x)=2(x－1)+2(x²－7x+b₁)(2x－7)

由題意，得

   f’(x₂)=0,

即 2(x₂－1)+2(x₂²－7x₂+b₁)(2x₂－7)=0.

又P₂(x₂,2)在C₁上

∴2＝x₂²－7x₂+b₁,

解得 x₂=3,  b₁=14,

故C₁方程為y=x²－7x+14

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x,y）是C_n上任意一點(diǎn)，

則|A_nP|=

      =

令g(x)=(x－x_n)²+(x²+a_nx+b_n)²,

則 g’(x)=2(x－x_n)+2(x²+a_nx+b_n)(2x+a_n).

由題意，得

g’(x_n+1)=0

即 2(x_n+1－x_n)+2(x_n+1²+a_nx_n+1+b_n)(2x_n+1+a_n)=0

又∵2ⁿ=x_n+1²+a_nx_n+1+b_n

∴(xⁿ⁺¹－x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1).

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1－x_n+2 ⁿa_n=0          （*）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n=2n－1

①當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1，等式成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即x_k=2k－1.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

由（*）知（1+2^k+1）x_k+1－x_k+2^ka_k=0

又a_k=－2－4k－,

∴x_k+1=

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，

由①②知，等式對(duì)n∈N*成立。

∴{x_n}是等差數(shù)列。