Question

如圖，已知雙曲線C₁：，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C₁，C₂都有公共點(diǎn)，則稱P為“C₁﹣C₂型點(diǎn)“

（1）在正確證明C₁的左焦點(diǎn)是“C₁﹣C₂型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C₁﹣C₂型點(diǎn)”；

（3）求證：圓x²+y²=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁﹣C₂型點(diǎn)”

 

Answer 1

【答案】

（1）或，其中（2）見解析（3）見解析

【解析】

試題分析：C₁的左焦點(diǎn)為（），寫出的直線方程可以是以下形式：

或，其中．

（2）證明：因?yàn)橹本�y=kx與C₂有公共點(diǎn)，

所以方程組有實(shí)數(shù)解，因此|kx|=|x|+1，得．

若原點(diǎn)是“C₁﹣C₂型點(diǎn)”，則存在過(guò)原點(diǎn)的直線與C₁、C₂都有公共點(diǎn)．

考慮過(guò)原點(diǎn)與C₂有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．

顯然直線x=0與C₁無(wú)公共點(diǎn)．

如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組，得，矛盾．

所以直線y=kx（|k|＞1）與C₁也無(wú)公共點(diǎn)．

因此原點(diǎn)不是“C₁﹣C₂型點(diǎn)”．

（3）證明：記圓O：，取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q，設(shè)有經(jīng)過(guò)Q的直線l與C₁，C₂都有公共點(diǎn)，顯然l不與x軸垂直，

故可設(shè)l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間，

從而過(guò)Q且以k為斜率的直線l與C₂無(wú)公共點(diǎn)，矛盾，所以|k|＞1．

因?yàn)閘與C₁由公共點(diǎn)，所以方程組有實(shí)數(shù)解，

得（1﹣2k²）x²﹣4kbx﹣2b²﹣2=0．

因?yàn)閨k|＞1，所以1﹣2k²≠0，

因此△=（4kb）²﹣4（1﹣2k²）（﹣2b²﹣2）=8（b²+1﹣2k²）≥0，

即b²≥2k²﹣1．

因?yàn)閳AO的圓心（0，0）到直線l的距離，

所以，從而，得k²＜1，與|k|＞1矛盾．

因此，圓內(nèi)的點(diǎn)不是“C₁﹣C₂型點(diǎn)”

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題