Question

直線y=

3

x與雙曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|FO|=|MO|，則雙曲線的離心率等于（　�。�

• A、

  3

  +

  2

• B、

  3

  +1
• C、

  2

  +1
• D、2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)直線的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形，得點(diǎn)N（

1

2

c，

3

2

c），代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)整理，得關(guān)于離心率e的方程，解之可得該雙曲線的離心率．

解答： 解：∵直線y=

3

x交雙曲左右兩支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=

3

，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形，
得N（

1

2

c，

3

2

c），代入雙曲線方程得

c2 4

a2

-

3c2 4

b2

=1
將e=

c

a

和b²=c²-a²代入化簡(jiǎn)整理，
得

1

4

e²-

3

4

•

e2

e2-1

=1，解之得e²=4±2

3

，
∴雙曲線的離心率e=

3

+1（因?yàn)殡p曲線離心率e＞1，舍去

3

-1）
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，且在|ON|=c的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．