Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
（Ⅰ）求f（x）的導函數(shù)；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[ ，+∞）上的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ），
導數(shù)f′（x）=（1﹣ 2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x
=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x；
（Ⅱ）由f（x）的導數(shù)f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x ，
可得f′（x）=0時，x=1或 ，
當 ＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當1＜x＜ 時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞ 時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
且x≥ x2≥2x﹣1（x﹣1）2≥0，
則f（x）≥0．
由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，
即有f（x）的最大值為 e ，最小值為f（1）=0．
則f（x）在區(qū)間[ ，+∞）上的取值范圍是[0， e ]．
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，注意運用復合函數(shù)的求導法則，即可得到所求；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，求得極值點，討論當 ＜x＜1時，當1＜x＜ 時，當x＞ 時，f（x）的單調性，判斷f（x）≥0，計算f（ ），f（1），f（ ），即可得到所求取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了簡單復合函數(shù)的導數(shù)和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識點，需要掌握復合函數(shù)求導：和,稱則可以表示成為的函數(shù),即為一個復合函數(shù)；一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．