Question

 如圖甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上異于A、B的一點(diǎn)．

（1）若一個(gè)面體中有個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)面體的直度為．那么四面體的直度為多少？說(shuō)明理由；

（2）在四面體中，，設(shè)．若動(dòng)點(diǎn)在四面體 表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持．設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角的函數(shù)，求取最大值時(shí),二面角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）四面體的直度為1．

理由如下：由AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上異于A、B的一點(diǎn)，故AC⊥BC，　　從而底面為△。又PA垂直于⊙O所在平面，有PA⊥AB，PA⊥AC，故△PAB、△PAC都為△。又AC為PC在面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理知PC⊥BC，故△PCB為△。綜上知四面體的四個(gè)面都為△，所以四面體的直度為1. -----------------4分

（2）∵動(dòng)點(diǎn)在四面體表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)A作PB的垂面與四面體表面的交線圍成的三角形。

如圖乙：平面，并且平面與四面體的三個(gè)側(cè)面分別交于AE、AF、EF．

易知即為二面角的平面角．

∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上異于A、B的一點(diǎn)，∴BC⊥AC

∵PA⊥面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，故BC⊥面PAC，∵AF平面PAC，∴AF⊥BC．

又平面知AF⊥PB，∴AF⊥面PBC．又EF平面PBC，AF⊥FE，則為△．

在△PAB中，,，則AE=．

在△ACB中，，，有．

又在△PAC中，．

在中，．

∴=

=

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)．

此時(shí)．

故取最大值時(shí)二面角的正切值為1．------------12分