Question

已知函數(shù)f（x）是（x∈R）的反函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-2成軸對(duì)稱(chēng)圖形，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的解析式及定義域；
（2）試問(wèn)在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線(xiàn)AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A，B坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由y=-1（x∈R），得10^x=，x=lg．
∴f（x）=lg（-1＜x＜1）．
設(shè)P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，
則P關(guān)于直線(xiàn)x=-2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-4-x，y）．
由題設(shè)知點(diǎn)P′（-4-x，y）在函數(shù)的圖象上，
∴y=，即g（x）=（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）設(shè)F（x）上不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂ y₂），-1＜x₁＜x₂＜1
則y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=
=
=．
由-1＜x1＜x2＜1 得，
所以，y₁＞y₂，
即F（x）是（-1，1）上的單調(diào)減函數(shù)，故不存在A(yíng)，B兩點(diǎn)，使AB與y軸垂直．
分析：（1）由題設(shè)條件知f（x）=lg（-1＜x＜1）．設(shè)P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于直線(xiàn)x=-2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-4-x，y）．由此可知g（x）=（x≠-2）．從而得到F（x）的解析式及定義域．
（2）由f（x）和g（x）都是減函數(shù)，知F（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．由此可知不存在這樣兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，使直線(xiàn)AB恰好與y軸垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，解決第（2）小題常用的方法是反證法，但本題巧用單調(diào)性法使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了．