Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓O：x²+y²=3相切，過C的一個焦點且斜率為

3

的直線也與圓O相切．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）P是圓O上在第一象限的點，過P且與圓O相切的直線l與C的右支交于A、B兩點，△AOB的面積為3

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓O：x²+y²=3相切，可得a=

3

，利用過C的一個焦點且斜率為

3

的直線也與圓O相切，可得c=2，從而可知b=1，故可得雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m，利用圓心O到直線l的距離d=

3

，可得m²=3k²+3，聯(lián)立方程，消去y可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，計算線AB的長，利用△AOB的面積為3

2

，即可求直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓O：x²+y²=3相切，
∴a=

3

，（2分）
設(shè)過C的右焦點且斜率為

3

的直線方程為y=

3

（x-c）
∵過C的一個焦點且斜率為

3

的直線也與圓O相切，
∴

| 3 c|

2

=

3

，∴c=2，
∴b²=c²-a²=1，∴b=1
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
圓心O到直線l的距離d=

m

k2+1

，由d=

3

得m²=3k²+3（6分）
由

y=kx+m x2 3 -y2=1

得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
則x1+x2=-

6km

3k2-1

，x1x2=

3m2+3

3k2-1

（8分）
|AB|=

k2+1

•|x2-x1|=

k2+1

•

(x2+x1)2-4x1x2

=

k2+1

•

36k2m2 (3k2-1)2 - 12(m2+1) 3k2-1

=

k2+1

•

36k2(3k2+3) (3k2-1)2 - 12(3k2+4) 3k2-1

又△AOB的面積S=

1

2

|OP|•|AB|=

3

2

|AB|=3

2

，∴|AB|=2

6

（10分）
由

4 3 k2+1

|3k2-1|

=2

6

，解得k=-1，m=

6

，
∴直線l的方程為y=-x+

6

．（12分）

點評：本題考查雙曲線與圓的綜合，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，同時考查三角形面積的計算，綜合性較強．