Question

已知某企業(yè)的原有產品每年投入x萬元，可獲得的年利潤表示為函數：P(x)=-

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(x-30)2+20（萬元）．現(xiàn)準備開發(fā)一個回報率高，科技含量高的新產品從“十一五”計劃（此計劃歷時5年）的第一年開始，用兩年的時間完成．這兩年，每年從100萬元的生產準備金中拿出80萬元投入新產品的開發(fā)，從第三年開始這100萬元就可全部用于新舊兩種產品的生產投入．經預測，新產品每年投入x萬元，可獲得的年利潤表示為函數：Q(x)=-

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(100-x)2+48(100-x)（萬元）．
（1）為了解決資金缺口，第一年初向銀行貸款1000萬元，年利率為5.5%（不計復利），第五年底一次性向銀行償還本息共計多少萬元？
（2）從新產品投入生產的第三年開始，從100萬元的生產準備金中，新舊兩種產品各應投入多少萬元，才能使后三年的年利潤最大？
（3）從新舊產品的五年最高總利潤中拿出70%來，能否還清對銀行的欠款？

Answer 1

分析：（1）由于年利率為5.5%，且不計復利，故可求所還利息，從而可求第五年底一次性向銀行償還的本息；
（2）設從第三年起每年舊產品投入x萬元，新產品投入100-x萬元，則舊產品投入的年利潤為P(x)=[-

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(x-30)2+20]，新產品投入的年利潤為Q(100-x)=[-

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(100-100+x)2+48(100-100+x)]
從而可表達每年的年利潤；
（3）因為P（x）在（0，30）上為增函數，所以可計算前兩年利潤、后三年利潤，進而可以解決問題．

解答：解：（1）1000+1000×5.5%×5=1275（萬元）--（5分）
（2）設從第三年起每年舊產品投入x萬元，新產品投入100-x萬元，--（7分）
則每年的年利潤y=P(x)+Q(100-x)=[-

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(x-30)2+20]+[-

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(100-100+x)2+48(100-100+x)]
=-（x-27）²+659．--（10分）
所以投入舊產品27萬元，投入新產品73萬元時，每年可獲最大利潤659萬元．--（12分）
（3）因為P（x）在（0，30）上為增函數，
所以前兩年利潤為y₁=2P（20）=20（萬元）
后三年利潤y₂=3[P（27）+Q（73）]=3×659=1977（萬元）--（15分）
由（20+1977）×70%=1397.9＞1275，故能還清對銀行的欠款．--（17分）

點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查函數模型的建立，同時利用函數模型解決實際問題，屬于中檔題．