Question

把水放在溫度為θ₀℃的空氣中冷卻，若水原來的溫度是θ₁℃（θ₀＜θ₁），t分鐘后物體溫度θ℃可由公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt求得，其中，k是由不同盛水的容器所確定的正常量．
（1）若室溫為20℃，往某容器中倒入98℃的熱水，一小時(shí)后測得水溫為71.2℃，求k的值；（精確到0.001）
（2）若一保溫杯的k=0.01，往該保溫杯中倒入100℃的開水，經(jīng)過2.5小時(shí)測得水溫為40℃，求此時(shí)的室內(nèi)溫度（假設(shè)室內(nèi)恒溫，精確到0.1℃）．

Answer 1

解：（1）由題意，71.2=20+（98-20）e^-60k?k=0.007
（2）θ=θ₀（1-e^-λt）+θ₁e^-λt，當(dāng)θ₀、θ₁越大時(shí)，水溫保持時(shí)間越長．
40=θ₀（1-e^-0.01×150）+100e^-0.01×150?θ₀=22.8⁰C
答：此時(shí)的室內(nèi)溫度為22.8⁰C．
分析：（1）將題目中的條件代入公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt求解就可得到k的值．
（2）公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt中θ=40，k=0.01，t=150，代入就可解出此時(shí)的室內(nèi)溫度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的綜合題，通過研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問題．我們要掌握底數(shù) 兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題．