Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定義：使乘積a₁•a₂•a₃…a_k為正整數的k（k∈N*）叫做“和諧數”，則在區(qū)間[1，2010]內所有的“和諧數”的和為

1. A.
   2048
2. B.
   4096
3. C.
   2026
4. D.
   4083

Answer 1

C
分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化簡a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，給m依次取值，可得區(qū)間[1，2010]內所有和諧數，然后求和．
解答：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂…a_k為整數得1•log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）為整數，
設log₂（k+2）=m，則k+2=2^m，
∴k=2^m-2； 因為2¹¹=2048＞2010，
∴區(qū)間[1，2010]內所有和諧數為：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故選C．
點評：本題以新定義“和諧數”為切入點，主要考查了對數的換底公式及對數的運算性質的應用，屬于中檔試題