Question

設(shè)x，y滿足線性約束條件

x-y+2≥0 2x+y-5≤0 x≥0 y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為6，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：畫(huà)出滿足約束條件的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為6，求出a，b的關(guān)系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．

解答： 解：滿足線性約束條件

x-y+2≥0 2x+y-5≤0 x≥0 y≥0

的區(qū)域是一個(gè)四邊形，如圖
4個(gè)頂點(diǎn)是（0，0），（0，2），（2.5，0），（1，3），
若目標(biāo)函數(shù)在（1，3）取最大值6，
即6=ab+3，∴ab=3，
∴a+b≥2

ab

=2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a+b的最小值為2

3

．
若目標(biāo)函數(shù)在（2.5，0）取最大值6，即6=2.5ab，∴ab=

12

5

，
∴a+b≥2

ab

=

4 15

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a+b的最小值為

4 15

5

．
∴a+b的最小值為

4 15

5

．
故答案為：

4 15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用，用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．