Question

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式對(duì)任意恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)的最小值，并證明．

Answer 1

（1）．  （2）的最小值為． 

本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，
由題意可知，即，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于，利用當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得或（舍去）．     …………3分
所以，．       …………6分
（2）不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
而，所以猜想，的最小值為．    …………8分
下證不等式對(duì)任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時(shí)，，成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，
當(dāng)時(shí)，， …………10分
只要證 ，只要證 ，
只要證 ，只要證 ，
只要證 ，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分
方法二：?jiǎn)握{(diào)性證明．
要證 
只要證 ，  
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，       …………10分
，   …………12分
所以對(duì)，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而，所以恒成立，
故的最小值為．