Question

正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊上一點，將△AED及△DCF折起，使A、C點重合于A′點．
（1）證明A′D⊥EF；
（2）當BF=

1

4

BC時，求三棱錐A′-EFD的體積．

Answer 1

分析：（1）由正方形的幾何牲，我們易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由線面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由線面垂直的性質(zhì)可得A′D⊥EF；
（2）根據(jù)A?E=AE=1，A?F=CF=

3

2

，EF=

5

2

利用勾股定理得出：△A?EF為Rt三角形，∠A?EF=90°，最后利用體積公式即可求三棱錐A′-EFD的體積．

解答：證明：（1）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
（2）A?E=AE=1，A?F=CF=

3

2

，EF=

5

2

∴A?F²=EF²+A?E²
∴△A?EF為Rt三角形，∠A?EF=90°
∴S_△A?EF=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

     
 V_A?-EFD=V_D-A?EF=

1

3

•S_△A?EF•DA?=

5

6

點評：本題考查的知識點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化關系，（2）的關鍵是求得棱錐的高長．