Question

已知函數(shù)f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍.

 

Answer 1

(1)當(dāng)x∈(－∞，ln)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增．(2)(－∞，2]

【解析】試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，通過(guò)對(duì)a范圍的討論，找出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；(2)利用(1)先確定a的大范圍為a≤0，然后通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性解此不等式.

試題解析：(Ⅰ)f?(x)＝2ex－a．

若a≤0，則f?(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；

若a＞0，則

當(dāng)x∈(－∞，ln)時(shí)，f?(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(ln，＋∞)時(shí)，f?(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增． 5分

(Ⅱ)注意到f(0)＝0．

若a≤0，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)≥f(0)＝0，符合題意．

若ln≤0，即0＜a≤2，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)≥f(0)＝0，符合題意．

若ln＞0，即a＞2，則當(dāng)x∈(0，ln)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f(x)＜0，不合題意．

綜上所述，a的取值范圍是(－∞，2]． 12分

考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，分類與整合，含參數(shù)不等式