(本小題滿分14分)
有
個首項都是1的等差數(shù)列,設(shè)第
個數(shù)列的第
項為
,公差為
,并且
成等差數(shù)列.
(Ⅰ)證明
(
,
是
的多項式),并求
的值
(Ⅱ)當(dāng)
時,將數(shù)列
分組如下:
(每組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成
等差數(shù)列).
設(shè)前
組中所有數(shù)之和為
,求數(shù)列
的前
項和
.
(Ⅲ)設(shè)
是不超過20的正整數(shù),當(dāng)
時,對于(Ⅱ)中的
,求使得不等式
成立的所有
的值.
解:(Ⅰ)由題意知
.
,
同理,
,
,…,
.
又因為
成等差數(shù)列,所以
.
故
,即
是公
差為
的等差數(shù)列.
所以,
.
令
,則
,此時
. ………4分
(Ⅱ)當(dāng)
時,
.
數(shù)列
分組如下:
.
按分組規(guī)律,第
組中有
個奇數(shù),
所以第1組到第
組共有
個奇數(shù).
注意到前
個奇數(shù)的和為
,
所以前
個奇數(shù)的和為
.
即前
組中所有數(shù)之和為
,所以
.
因為
,所以
,從而
.
所以
.
.
故
.
所以
. ………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得
,
.
故不等式
就是
.
考慮函數(shù)
.
當(dāng)
時,都有
,即
.
而
,
注意到當(dāng)
時,
單調(diào)遞增,故有
.
因此當(dāng)
時,
成立,即
成立.
所以,滿足條件的所有正整數(shù)
. …………………………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)等差數(shù)列
的公差為正數(shù),若
則
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)數(shù)列
的前
項和為
,關(guān)于數(shù)列
有下列四個命題:
①若
既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則
;
②若
,則
是等比數(shù)列;
③若
,則
是等差數(shù)列;
④若
,則無論
取何值時
一定不是等比
數(shù)列。其中正確命題的序號是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知數(shù)列
的前四項分別為1,0,1,0,則下列各式可以作為數(shù)列
的通項公式的有
①
②
③
④
⑤
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)正數(shù)
a,
b滿足
( )
A.0 | B. | C. | D.1 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知
是數(shù)列{
}的前n項和,并且
=1,對任意正整數(shù)n,
;設(shè)
).(I)證明數(shù)列
是等比數(shù)列,并求
的通項公式;
(II)設(shè)
的前n項和,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知數(shù)列
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