Question

已知點A（2，0）關于直線l₁：x+y-4=0的對稱點為A₁，圓C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）經(jīng)過點A和A₁，且與過點B（0，-2

2

）的直線l₂相切．
（1）求圓C的方程；（2）求直線l₂的方程．

Answer 1

（1）∵點A和A₁均在圓C上且關于直線l₁對稱，
∴圓心在直線l₁上，由圓C的方程找出圓心C（m，n），
把圓心坐標直線l₁，點A代入圓C方程得：

m+n=4 (m-2)2+n2=4

，解得

m=2 n=2

或

m=4 n=0

（與n＞0矛盾，舍去），
則圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4；
（2）當直線l₂的斜率存在時，
設直線l₂的方程為y=kx-2

2

，由（1）得到圓心坐標為（2，2），半徑r=2，
根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d=

|2k-2-2 2 |

k2+1

=r=2，解得k=1，
所以直線l₂的方程為y=x-2

2

；
當直線l₂的斜率不存在時，
易得另一條切線為x=0，
綜上，直線l₂的方程為y=x-2

2

或x=0．