Question

已知函數(shù)f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

其中集合P，M是非空數(shù)集．設(shè)．f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}
（I）若 P=[l，3]，M=（-∞，-2]，求f（P）∪f（M）；
（II）若P∩M=φ，a函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求集合P，M
（III）判斷命題“若P∪M≠R，則．f（P）∪f（M）≠R”的真假，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由P=[1，3]，M=（-∞，-2），f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

可求f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞），從而可求
（II）由f（x）是R上的增函數(shù)，且f（0）=0可得，x＜0時，f（x）＜0，即（-∞，0）⊆P，（0，+∞）⊆P，結(jié)合P∩M=∅可求
（III）利用反證法：假設(shè)存在P，M且P∪M≠R，則有f（P）∪f（M）=R，由P∪M≠R進(jìn)行推理，看是否產(chǎn)生矛盾

解答：解：（I）∵P=[1，3]，M=（-∞，-2）
∴f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞）
∴f（P）∪f（M）=[1，+∞）（3分）
（II）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是R上的增函數(shù)，且f（0）=0
所以當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，所以（-∞，0）⊆P
同理可知，（0，+∞）⊆P
因?yàn)镻∩M=∅
所以P={x|x≠0}．M={0}（6分）
（III）原命題為真命題，理由如下：（8分）
假設(shè)存在P，M且P∪M≠R，則有f（P）∪f（M）=R
因?yàn)镻∪M≠R
若0∉P∪M
則0∉f（P）∪f（M）
∴f（P）∪f（M）≠R與f（P）∪f（M）=R矛盾
若存在x₀∉P∪M且則x₀∉P∪M且x₀≠0，則x₀∉f（P），-x₀∉f（M）
因?yàn)閒（p）∪f（M）=R
所以-x₀∈f（P），x₀∈f（M）
所以-x₀∈P，-x₀∈M
由函數(shù)的定義可得，-x₀=x₀即x₀=0與x₀≠0矛盾
所以命題“若P∪M≠R，則f（P）∪f（M）≠R為真命題（14分）

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的新定義為載體，主要考查了考試綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)及題目中新的信息的能力，試題具有一定的難度．