Question

已知函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，證明f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：假設(shè)f(x)＝0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且不妨設(shè)x1＜x2，由題意得f(x1)＝0，f(x2)＝0．∴f(x1)＝f(x2)① 　　∵f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)為增函數(shù)，由x1＜x2則f(x1)＜f(x2)②，因此①、②相矛盾．假設(shè)不成立，故f(x)＝0至多有一個(gè)零點(diǎn)．

提示：

思路分析：不妨設(shè)f(x)在R上是增函數(shù)，為證明f(x)＝0至多有一個(gè)實(shí)根，考慮用反證法證明． 　　思想方法小結(jié)：這是一個(gè)很明顯的結(jié)論，但證明起來無從下手．下面應(yīng)用這個(gè)結(jié)論解決下面問題．