Question

已知橢圓的中心在坐標原點，一個焦點坐標是F₁（0，-1），離心率為

3

3

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F₁作直線交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)₂是橢圓的另一個焦點，求S△ABF2的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由焦點求得c=1，再由離心率公式，求得a，再由a，b，c的關(guān)系，求得b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=kx-1，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，求出|x₁-x₂|的范圍，注意運用單調(diào)性求范圍，再由面積公式，即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）橢圓的中心在坐標原點，一個焦點坐標是F₁（0，-1），
即有c=1，且離心率為

3

3

，即有

c

a

=

3

3

，
解得，a=

3

，則b=

a2-c2

=

2

，
則橢圓方程為

y2

3

+

x2

2

=1；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=kx-1，
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（3+2k²）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

3+2k2

，x₁x₂=

-4

3+2k2

，
則|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16k2 (3+2k2)2 + 16 3+2k2

=4

3

•

1+k2

3+2k2

，令t=

1+k2

（t≥1），
則|x₁-x₂|=4

3

•

t

1+2t2

=4

3

•

1

2t+ 1 t

，
（2t+

1

t

）′=2-

1

t2

＞0在t≥1成立，即有2t+

1

t

≥3，
則有|x₁-x₂|的范圍是（0，

4 3

3

]．
則S△ABF2=

1

2

|x1-x2|×2c=|x₁-x₂|，
即有S△ABF2的取值范圍是（0，

4 3

3

]．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理解題，考查導(dǎo)數(shù)的運用，判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性求范圍，屬于中檔題．