Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD中點，M是棱PC上的點，PD=PA=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）若點M是棱PC的中點，求證：PA∥平面BMQ；
（2）求證：平面PQB⊥底面PAD；
（3）若二面角M-BQ-C大小為θ，且θ∈[

π

6

，

π

3

]，若

PM

=t

MC

，試確定t的取值范圍．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC，交BQ于N，連結MN，由已知條件推導出四邊形BCQA為平行四邊形，且由此能證明PA∥平面MBQ．
（2）由已知條件推導出四邊形BCDQ是平行四邊形，從而得到QB⊥AD，由此能證明BQ⊥平面PAD，從而得到平面PQB⊥平面PAD．
（3）以Q為原點建立空間直角坐標系，利用向量法t的取值范圍．

解答： （1）證明：連結AC，交BQ于N，連結MN，
∵BC=

1

2

AD=1，AD∥BC，Q為AD中點，
∴BC

∥

.

AQ，∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，
又∵點M是棱PC中點，∴MN∥PA，
∵MN?平面MQB，PA不包含于平面MQB，
∴PA∥平面MBQ．
（2）證明：∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD中點，
∴四邊形BCDQ是平行四邊形，
∴CD∥BQ，
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（3）解：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．
由題意知平面BQC的法向量為

n

=(0，0，1)，
Q（0，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），
設M（x，y，z），
則

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

，
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
設平面MBQ的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • QB = 3 y=0 m • QM =- t 1+t x+ 3 t 1+t y+ 3 1+t z=0

，
取x=

3

，得

m

=(

3

，0，t)，
∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴

| n • m |

| n || m |

=

t

3+t2

∈[

1

2

，

3

2

]，解得，1≤t≤3，
∴t的取值范圍為[1，3]．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．