Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PD=AD=2，E是PC中點(diǎn)
（1）求證：面PAC⊥面PBD；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，即可得證；
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，可得EF⊥底面ABCD，由三棱錐的體積公式，即可得到．

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，
則由中位線定理得到EF∥PD，EF=

1

2

PD=1，
∵PD⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
∴三棱錐E-BCD的體積是

1

3

•EF•S_△BCD=

1

3

×1×

1

2

×2×2×

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，同時(shí)考查三棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．