(2013•虹口區(qū)二模)將邊長為2的正方形沿對角線AC折起,以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大值等于
2
2
3
2
2
3
分析:如圖所示,設(shè)正方形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)D折疊后的位置為D',連接BD'、OD'.利用線面垂直的判定,證出AC⊥平面B'DO,從而得到三棱錐的體積為VD'-ABC=VA-BOD'+VC-BOD'=
1
3
S△BOD'×AC.因?yàn)锳C=2
2
是定值,所以當(dāng)S△BOD'達(dá)到最大值時所求的體積最大.最后根據(jù)正弦定理面積公式和正弦函數(shù)的最值,可得所求三棱錐的體積最大值等于
2
2
3
解答:解:如圖所示,設(shè)正方形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,
點(diǎn)D折疊后的位置為D',連接BD',OD'
∵AC⊥BO,AC⊥BO',BO∩D'O=0
∴AC⊥平面B'DO
因此,三棱錐的體積為
VD'-ABC=VA-BOD'+VC-BOD'
=
1
3
S△BOD'×AO+
1
3
S△BOD'×CO=
1
3
S△BOD'×AC
∵正方形的邊長為2,可得AC=2
2

∴當(dāng)S△BOD'最大時,VD'-ABC達(dá)到最大值.
∵S△BOD'=
1
2
×
2
×
2
×sin∠BOD′
=sin∠BOD′
∴當(dāng)∠BOD'=90°時,S△BOD'的最大值為1,從而得到VD'-ABC的最大值為
1
3
AC=
2
2
3

故答案為:
2
2
3
點(diǎn)評:本題給出正方形的翻折問題,求折疊后形成的三棱錐的體積最大值,著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和面積正弦定理公式等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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π
2
)cos(x-
π
2
)
與直線y=
1
2
相交,若在y軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為M1,M2,M3,…,則|
M1M13
|
等于( 。

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.
zn
+2i
,z1=1+i.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求和:①z1+z2+…+zn;②a1b1+a2b2+…+anbn

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-∞,
1
2
-∞,
1
2

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(1-i)31+i
,則|z|=
2
2

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