Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²．
（1）求證：2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函數(shù)解析式；
（3）是否存在整數(shù)k，使對(duì)任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，請(qǐng)求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閒（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期（2分）
（2）∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]時(shí)，
①當(dāng)k≥1時(shí)，則2k-1≥1，∴x＞0
∴原題等價(jià)于x²-2kx+4k²-9＞0對(duì)任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立．
設(shè)g（x）=x²-2kx+4k²-9
當(dāng)k≥1時(shí)，對(duì)稱軸x=k≤2k-1
則g（2k-1）=4k²-2k-8≥0，
解得或∴整數(shù)k≥2（10分）
②當(dāng)k≤-1時(shí)，則2k+1≤-1，∴x＜0，
∴原題等價(jià)于x²-2kx+4k²-9＜0對(duì)任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立，
設(shè)g（x）=x²-2kx+4k²-9
當(dāng)k≤-1時(shí)，對(duì)稱軸x=k≥2k+1
則g（2k-1）=4k²-2k-8＞0，
解得∴整數(shù)k=-1（14分）
③當(dāng)k=0時(shí)，原命題等價(jià)于對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立
當(dāng)x=1時(shí)，則-8＞0顯然不成立∴k≠0（15分）
綜上所述，所求k的取值范圍是[2，+∞）∪-1．（16分）
分析：（1）因?yàn)閒（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）可得結(jié)論．
（2）設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x）可求解．
（3）當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]時(shí)，恒成立，再用二次函數(shù)法求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性及用周期性求函數(shù)解析式，這類問(wèn)題要注意轉(zhuǎn)化自變量所在區(qū)間是關(guān)鍵．還考查了恒成立問(wèn)題，要通過(guò)函數(shù)類型來(lái)求最值解決，本題用的是二次函數(shù)法，對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置，即研究了單調(diào)性，也明確了自變量的正負(fù)，題目設(shè)計(jì)可謂巧妙．