Question

14．已知圓C：x²+y²=1與x軸的兩個交點分別為A，B（由左到右），P為C上的動點，l過點P且與C相切，過點A作l的垂線且與直線BP交于點M，則點M到直線x+2y-9=0的距離的最大值是$2\sqrt{5}+2$．

Answer 1

分析 先利用交軌法求出M的軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，再利用圓心到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（a，b），則l的方程為ax+by=1，
∴AM的方程為bx-ay+b=0，BP的方程為bx-（a-1）y-b=0，
聯(lián)立，可得M（2a-1，2b），
即x=2a-1，y=2b，
∴a=$\frac{x+1}{2}$，b=$\frac{y}{2}$，
∵a²+b²=1，
∴（x+1）²+y²=4，即M的軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線x+2y-9=0的距離d=$\frac{|-1-9|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴點M到直線x+2y-9=0的距離的最大值是$2\sqrt{5}+2$．
故答案為：$2\sqrt{5}+2$．

點評 本題考查軌跡方程，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．