Question

5．某校為了解學(xué)生一次考試后數(shù)學(xué)、物理兩個(gè)科目的成績情況，從中隨機(jī)抽取了25位考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．25位考生的數(shù)學(xué)成績已經(jīng)統(tǒng)計(jì)在莖葉圖中，物理成績?nèi)缦拢?br />90    71    64     66   72   39    49   46    55    56   85    52    6l
80    66    67    78    70   51    65   42    73    77   58     67

（Ⅰ）請根據(jù)數(shù)據(jù)在答題卡的莖葉圖中完成物理成績統(tǒng)計(jì)；
（Ⅱ）請根據(jù)數(shù)據(jù)在答題卡上完成數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表及數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖；
數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表

（Ⅲ）設(shè)上述樣本中第i位考生的數(shù)學(xué)、物理成績分別為x_i，y_i（i=1，2，3，…，25）．通過對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)、物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系，得到：$\overline{x}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}{x}_{i}$=86，$\overline{y}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}$y_i=64，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4698，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）²=5524，$\frac{4698}{5524}$≈0.85．
求y關(guān)于x的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測當(dāng)某考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?00分時(shí)，該考生的物理成績（精確到1分）．
附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整莖葉圖中物理成績統(tǒng)計(jì)即可；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)據(jù)，畫出數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表，根據(jù)頻率分布表，畫出數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖；
（Ⅲ）根據(jù)公式計(jì)算回歸方程的系數(shù)，求出線性回歸方程，并利用方程預(yù)測數(shù)據(jù)即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整莖葉圖中物理成績統(tǒng)計(jì)，如圖所示；

（Ⅱ）根據(jù)數(shù)據(jù)，畫出數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表，如下；

分?jǐn)?shù)分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120]
文科	1	2	3	7	6	5	1

根據(jù)頻率分布表，畫出數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，如下；

（Ⅲ）∵$\overline{x}$=86，$\overline{y}$_i=64，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4698，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）²=5524，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{4698}{5524}$≈0.85，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=64-0.85×86=-9.1，
∴所求的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.85x-9.1；
當(dāng)x=100時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=0.85×100-9.1≈76，
即當(dāng)某考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?00分時(shí)，預(yù)測該考生的物理成績?yōu)?6．

點(diǎn)評 本題考查了莖葉圖與頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了線性回歸直線方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．