Question

已知a₁，a₂，…，a_n都是正實(shí)數(shù)，且a₁＋a₂＋…＋a_n＝1．

求證：≥．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：根據(jù)柯西不等式，得 　　左邊＝ 　�。絒(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋ …＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]×[()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2]× 　�。絒()2＋()2＋…＋()2＋()2]×[()2＋()2＋…＋()2＋()2]×≥[(×)＋(×)＋…＋(×)＋(×)]2×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右邊． 　　∴原不等式成立． 　　證法二：∵a∈R+，則a＋≥2，a≥2－． 　　利用上面的結(jié)論，知 　　同理，有， 　　… 　　，． 　　以上式子相加整理，得 　　≥(a1＋a2＋…＋an)＝． 　　證法三：對(duì)于不等式左邊的第一個(gè)分式，配制輔助式k(a1＋a2)，k為待定的正數(shù)，這里取k＝，則(a1＋a2)≥＝a1． 　　同理，(a2＋a3)≥a2． 　　…… 　　(an－1＋an)≥an－1， 　　(an＋a1)≥an． 　　以上式子相加整理，得 　　≥(a1＋a2＋…＋an)． 　　∵a1＋a2＋…＋an＝1， 　　∴≥． 　　思路分析：已知條件中a1＋a2＋…＋an＝1，可以看作“1”的代換，而要證的不等式的左側(cè)，“數(shù)式”已經(jīng)可以看出來，為，…，所以a1＋a2＋…＋an＝1．應(yīng)擴(kuò)大2倍后再利用，本題還可以利用其他的方法證明．

提示：

通過以上不同的證明方法可以看出，無論用柯西不等式或其他重要不等式來證明，構(gòu)造出所需要的某種結(jié)構(gòu)是證題的難點(diǎn)，因此，對(duì)柯西不等式或其他重要不等式，要熟記公式的特點(diǎn)，能靈活變形，才能靈活應(yīng)用．