Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=1，a₅=5；設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=2-S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3，…），T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，則b₁=2-S₁，又S₁=b₁，所以b₁=1．由此能夠求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=1，可得a_n=n，從而cn=an•bn=n•

1

2n-1

，由此能夠求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和求T_n．

解答：解：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，
則b₁=2-S₁，
又S₁=b₁，所以b₁=1…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由bn=2-Sn，可得bn-bn-1=-(Sn-

S

n-1

)=-bn…（3分）
即

bn

bn-1

=

1

2

，…（4分）
所以{bn}是以b1=1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，于是bn=

1

2n-1

．…（6分）
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=1，得a_n=n…（8分）
從而cn=an•bn=n•

1

2n-1

，…（9分）
∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

∴

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．…（11分）
從而Tn=4-

n+2

2n-1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．