Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若在區(qū)間（0，e）上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，判斷方程|f_（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實根？若無實根請說明理由，若有實根請給出根的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x+lnx，求出f′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

，從而得出x=1是f（x）在定義域（0，+∞）上唯一的極（大）值點，則f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）求出f′(x)=a+

1

x

，討論①當(dāng)-

1

a

≥e，②當(dāng)0＜-

1

a

＜e時的情況，從而求出a的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1時，f（x）_max=f（1）=-1，得出|f（x）|≥1，又令φ(x)=

lnx

x

+

1

2

，得φ(x)≤φ(e)=

1

e

+

1

2

＜1，因此方程無解．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x+lnx，
∴f′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞1時．f'（x）＜0，
∴x=1是f（x）在定義域（0，+∞）上唯一的極（大）值點，
則f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）∵f′(x)=a+

1

x

，
令f'（x）=0得x=-

1

a

＞0，
①當(dāng)-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

時，f'（x）≥0，
從而f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0舍；
②當(dāng)0＜-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

時，
f（x）在(0，-

1

a

)上遞增，在(-

1

a

，e)上遞減，
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)，
令-1+ln(-

1

a

)=-3，得a=-e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1時，
f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1，
又令φ(x)=

lnx

x

+

1

2

，
∴φ′(x)=

1-lnx

x2

，
∴φ(x)≤φ(e)=

1

e

+

1

2

＜1，
∴方程無解．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論，是一道綜合題．