Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2．
（I）求證：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列（要求指出首項(xiàng)與公比）；
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+2，可求得得a_n+1+2=2a_n+4，從而有

an+2+2

an+2

=2，n∈N*，而a₁+2=4，從而可證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得a_n=2ⁿ⁺¹-2，利用分組求和法即可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：證明：（I）由a_n+1=2a_n+2，得a_n+1+2=2a_n+4，
即a_n+1+2=2（a_n+2），
∴

an+1+2

an+2

=2，n∈N*，（4分）
又由a₁=2得a₁+2=4，
所以數(shù)列{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．（6分）
（II）由（I）知a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
所以a_n=2ⁿ⁺¹-2，
所以Sn=22+23+…+2n+1-2n=

22(1-2n)

1-2

-2n（10分）
=2ⁿ⁺²-2n-4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列的求和，分析得到數(shù)列{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵，突出考查分組求和（轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列與等差數(shù)列的公式求和），屬于中檔題．