Question

已知橢圓

x2

4

+y²=1，F(xiàn)₁、F₂是其左、右兩焦點(diǎn)，直線l：y=x+3，試在直線l上找一點(diǎn)P，使得∠F₁PF₂最大，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)平面幾何知識(shí)知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，經(jīng)過F₁與F₂的圓與直線l相切，此時(shí)圓心在y軸上，設(shè)坐標(biāo)為C（0，t），則由直線和圓相切得到d=r，求得圓心坐標(biāo)，再由切線的性質(zhì)求得CP的方程，聯(lián)立直線l方程，即可得到交點(diǎn)P．

解答： 解：橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點(diǎn)分別為
F₁（-

3

，0）、與F₂（

3

，0）．
如圖，根據(jù)平面幾何知識(shí)知，
當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，經(jīng)過F₁與F₂的圓與直線l相切，
此時(shí)圓心在y軸上，設(shè)坐標(biāo)為C（0，t），
則由直線和圓相切得到d=r，
即有

|0+3-t|

2

=

3+t2

，解得t=-3±2

3

，
通過圖象觀察取t=-3+2

3

，即有C（0，2

3

-3），
由CP⊥l，得直線CP：y=-x+2

3

-3，
聯(lián)立直線l：y=x+3，解得交點(diǎn)P（

3

-3，

3

）．
故當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

-3，

3

）時(shí)，使得∠F₁PF₂最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．