Question

如圖，船行前方的河道上有一座圓拱橋，在正常水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面為9m，拱圈內(nèi)水面寬22m．船頂部寬4m，船只在水面以上部分高6.5m時(shí)通行無(wú)阻．近日水位暴漲了2.7m，船已經(jīng)不能通過(guò)橋洞了．船員必須加重船載，降低船身．試問(wèn)船身必須降低多少米，才能順利地通過(guò)橋洞？（精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)QUOTE≈99.383）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：建立坐標(biāo)系，確定圓的方程，再令x=2，即可求得通過(guò)橋洞，船身至少應(yīng)該降低多少．

解答： 解：以正常水位時(shí)河道中央O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O垂直于水面的直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)橋拱圓的圓心O₁（0，y₀），半徑為r，則圓的方程為x²+（y-y₀）²=r²．
依題意得（r-9）²+11²=r²，解得r=

101

9

，y₀=-

20

9

．
圓的方程為x²+(y+

20

9

)2=(

101

9

)2．
當(dāng)x=2時(shí)，y=

9877 -20

9

≈8.82．
8.82-6.5=2.32，即船身必須降低2.32米，才能順利地通過(guò)橋洞．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程的運(yùn)用，正確建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵．