Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

3

2

，且內(nèi)切于圓x²+y²=9．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）與該橢圓交于M，N兩點，與y軸交于點R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用圓

x

2

+

y

2

=9的直徑為6，可得a=3，結(jié)合的離心率為

2

3

2

，參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；
（Ⅱ）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等即可證明．

解答： 解：（Ⅰ）因為圓

x

2

+

y

2

=9的直徑為6，依題意知2a=6，所以a=3，…（2分）
又因為

c

a

=

2

3

2

，所以c=2

2

，所以b=1，…（5分）
所以橢圓C的方程為

x2

9

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）λ+μ=-

9

4

，即λ+μ為定值．…（7分）
理由如下：
依題意知，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，y₃），
由

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x1+x2=

18 k 2

1+9 k 2

①，x1•x2=

9 k 2   -9

1+9 k 2

②，…（9分）
因為

RM

=λ

MQ

，所以（x₁，y₁）-（0，y₃）=λ[（1，0）-（x₁，y₁）]，
即

x1=λ(1-x1) y1-y3=-λy1

，又x₁≠1與x₁≠1軸不垂直，所以x₁≠1，
所以λ=

x1

1-x1

，同理μ=

x2

1-x2

，…（11分）
所以λ+μ=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

(x1+x2)-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

，
將①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

，即λ+μ為定值．…（12分）

點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、向量相等是解題的關(guān)鍵．