Question

已知函數(shù)f（x）=x-

2

x

-3lnx+1
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（II）求f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域；
（III）若函數(shù)g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x在[l，4]上取得最大值3，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

．
∴當(dāng)x∈（0，1）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，2）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（2，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1）（2，+∞），
減區(qū)間為（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在區(qū)間（1，e²）內(nèi)，當(dāng)x=2時，f（x）取得極小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2-

2

e2

-5．
∵f（2）＜f（1）＜f（e²），
∴f（x）在區(qū)間（1，e²）上的值域?yàn)?span mathtag="math" >[2-3ln2，e2-

2

e2

-5]；
（Ⅲ）由f(x)=x-

2

x

-3lnx+1及g(x)=7f(x)+m-

16

x

-4x，
得g(x)=3(x-

10

x

-7lnx)+7+m．
∴g′(x)=3(1+

10

x2

-

7

x

)=

3

x2

(x2-7x+10)=

3

x2

(x-2)(x-5)，x∈[1，4]
當(dāng)x∈[1，2）時，g^′（x）＞0，g（x）在[1，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（2，4]時，g^′（x）＜0，g（x）在（2，4]上單調(diào)遞減．
則g（x）在[1，4]上有最大值g（x）_max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴實(shí)數(shù)m的值為5+2ln2．