Question

函數(shù)f（x）=x²-2x+2在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的函數(shù)表達式；
（2）作g（t）的簡圖并寫出g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，f（x）為二次函數(shù)，要求其在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值，主要是分三種情況（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、之間）討論可得二次函數(shù)的最小值即得g（t）的函數(shù)表達式；
（2）畫出分段函數(shù)的簡圖，由簡圖可知g（t）的最小值．

解答：解：（1）據(jù)題意可知函數(shù)為二次函數(shù)且開口向上，所以函數(shù)有最小值，即當x=-

b

2a

=

2

2

=1，f_min=1
分情況討論函數(shù)在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）：
①當閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）?（-∞，1）即t＜0時，得：二次函數(shù)在x=t+1時取到最小值，
∴g（t）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1；
②當1∈[t，t+1]即0≤t≤1時，得x=1時，二次函數(shù)取到最小值∴g（t）=1；
③當閉區(qū)間[t，t+1]?（1，+∞）即t＞1時，得：x=t時，二次函數(shù)取到最小值∴g（t）=t²-2t+2．

綜上

g(t)=t2+1    (t＜0) g(t)=1            (0≤t≤1) g(t)=t2-2t+2     (t＞1)

（2）由（1）可知g（t）為分段函數(shù)作出圖象如下：

從圖象上可知g（t）_min=1．

點評：本題考點是二次函數(shù)的圖象，考查通過二次函數(shù)的圖象求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求解本題主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，要根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出所研究區(qū)間的單調(diào)性，確定最值在那個位置取到，再求出最值，本題中所給的區(qū)間是一個不定的區(qū)間，故解題時要根據(jù)區(qū)間與對稱軸的位置進行分類討論，主要是分三種情況（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、之間），解題時注意總結(jié)分類討論思想在求解本題中的作用．