Question

已知函數(shù)f（x）=（bx+c）lnx在x=

1

e

處取得極值，且在x=1處的切線的斜率為1．
（1）求b，c的值及f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求f（x）在x∈[

e

2

，2e]時的最值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′(x)=blnx+b+

c

x

，且

f′( 1 e )=-b+b+ce=0 f′(1)=b+c=1

，由此能求出b，c的值及f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）由（1）知f（x）在(0，

1

e

)單調(diào)遞減，在x∈[

e

2

，2e]單調(diào)遞增，由此能求出f（x）在x∈[

e

2

，2e]時的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=（bx+c）lnx，
∴f′(x)=blnx+b+

c

x

，（導數(shù)公式與運算法則）
∵在x=

1

e

處取得極值，且在x=1處的切線的斜率為1，
∴

f′( 1 e )=-b+b+ce=0 f′(1)=b+c=1

（函數(shù)極值的定義）
解得

b=1 c=0

，（3分）
則f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
當f′（x）=lnx+1＜0，
有x∈(0，

1

e

)，（導數(shù)符號與單調(diào)性的關(guān)系）
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(0，

1

e

)．（6分）
（2）由（1）知f（x）在(0，

1

e

)單調(diào)遞減，
在(

1

e

，+∞)單調(diào)遞增，故在x∈[

e

2

，2e]單調(diào)遞增，
故f_max=f（2e）=2eln（2e），
fmin=f(

e

2

)=

e

2

ln(

e

2

)（最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系）（14分）

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．