Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點．
①求證：EF⊥平面PCD；
②求平面PCB與平面PCD的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：①取AD中點為O，連接PO，由面面垂直的性質及等腰三角形的性質，易得PO⊥平面ABCD，故可以以O為原點，建立空間坐標系，設AD=2a，結合側面PAD是正三角形，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點，我們易求出各頂點的坐標，進而求出直線EF，DP，DC的方向向量，由向量數(shù)量積為0，則對應的線段垂直，可得EF⊥DP，EF⊥DC，再由線面垂直的判定定理，即可得到答案．
②分別求出平面PCB與平面PCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面PCB與平面PCD的夾角的余弦值．
解答：證明：①取AD中點為O，連接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD
故以OA為x軸
OP為z軸建立空間直角坐標系O-xyz（如圖所示）（1分）
設AD=2a，
則A（a，0，0），D（-a，0，0），B（a，2a，0），C（-a，2a，0），
故可求得：E（a，a，0），（3分）
∴，，
∵，
∴，∴平面PCD
∴EF⊥平面PCD（6分）
解：②設平面PBC的一個法向量為，則，
取，則為平面PCD的一個法向量，（9分）
故（11分）
故平面PBC與平面PCD的夾角余弦值為（12分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，將線線垂直問題，轉化為向量垂直問題，將二面角問題轉化為空間向量夾角問題是解答本題的關鍵．