已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面邊長為8，對角線B1C=10，D為AC的中點．

(1) 求證AB1∥平面C1BD；

(2) 求直線AB1到平面C1BD的距離．

 

答案：
解析：

證明：(1) 設B1C∩BC1=O．

連DO，則O是B1C的中點．

在△ACB1中，D是AC中點，O是B1C中點．

∴ DO∥AB1，

又DO平面C1BD，AB1平面C1BD，

∴ AB1∥平面C1BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中點，

∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1，

∴ BD⊥平面AC1，

平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交線．

在平面AC1內(nèi)作AH⊥C1D，垂足是H，

∴ AH⊥平面C1BD，

又AB1∥平面C1BD，故AH的長是直線AB1到平面C1BD的距離．

由BC=8，B1C=10，得CC1=6，

在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC

∴ ．

即AB1到平面C1BD的距離是．

 


練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為h（h＞2），動點M在側棱BB1上移動．設AM與側面BB1C1C所成的角為θ．
（1）當θ∈[
π
6
，
π
4
]時，求點M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當θ=
π
6
時，求向量
AM
與
BC
夾角的大�。�

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（1）若D為AC的中點，求證：AB1∥平面C1BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB1，當λ為何值時，AP∥平面C1BD；
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（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
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