Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b
（1）令F(x)=

f(x)

g(x)

，當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)？
（2）令G（x）=f（x）-g（x），若a＞b＞c，且f（1）=0
（Ⅰ）求證函數(shù)G（x）的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)A、B；
（Ⅱ）求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用定義可得F（-x）=-F（x），代入整理可求a，b，c 的關(guān)系
（2）（I）若a＞b＞c，且f（1）=0，可得a+c+b=0，a＞0＞c，G（x）=f（x）-g（x）=0，判斷判別式△=（b-a）²-4ac＞0即可
（II）由設(shè) A（x₁，0），B（x₂，0）根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，結(jié)合a+b+c=0，a＞0＞c進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）∵F（x）為奇函數(shù)，∴F（-x）=-F（x）；
∴

f(-x)

g(-x)

= -

f(x)

g(x)

?

a(-x)2-bx+c

-ax+b

=-

ax2+bx+c

ax+b

整理可得bc=0
bc=0，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)
（2）（I）∵f（1）=a+c+b=0，a＞b＞c∴a＞0＞c
∵G（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b
∴△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac＞0
∴G（x）=0有兩個(gè)根，函數(shù)G（x）的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)A、B
（II）設(shè)A（x₁，0）B（x₂，0）
∴|AB|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c a

=

4+ ( c a ) 2

＞2

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)與方程 的轉(zhuǎn)化，方程的根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的圖象與x軸相交的線段的長度的求解，知識(shí)比較多，是一道綜合性比較好的試題，體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化．