Question

已知函數(shù)f(x)=

-x2+x，x＜0 2ln(x+1)，x≥0

，若函數(shù)y=f（x）-kx有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、（0，1）
• C、（0，2）
• D、（1，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別求出函數(shù)x＜0和x≥0函數(shù)y=f（x）-kx零點(diǎn)的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合切點(diǎn)直線y=kx的取值范圍即可．

解答： 解：由y=f（x）-kx=0，得f（x）=kx，
∵f（0）=2ln1=0，
∴x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個零點(diǎn)，
當(dāng)x＜0時，由f（x）=kx，
得-x²+x=kx，
即-x+1=k，解得x=1-k，
由x=1-k＜0，解得k＞1，
當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）=2ln（x+1），
f'（x）=

2

x+1

∈（0，2），
∵x＞0，
∴要使函數(shù)y=f（x）-kx在x＞0時有一個零點(diǎn)，
則0＜k＜2，
∵k＞1，
∴1＜k＜2，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，2），
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象相交問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵，利用切線的臨界位置是解決問題的突破點(diǎn)．