Question

7．方程x³-3x²-a=0滿足下列條件時(shí)，則a的值或范圍．
（1）恰有一個(gè)實(shí)根；
（2）有兩個(gè)不等實(shí)根；
（3）三個(gè)不等實(shí)根；
（4）有沒有可能無實(shí)根．

Answer 1

分析 方程x³-3x²-a=0即為a=x³-3x²，令f（x）=x³-3x²，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過直線y=k與f（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到k的取值時(shí)，實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：方程x³-3x²-a=0即為
a=x³-3x²，
令f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2，
即f（x）的減區(qū)間為（0，2），增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），
即有x=0處取得極大值0，x=2處取得極小值-4，
函數(shù)f（x）的圖象如右：
（1）當(dāng)a＞0或a＜-4時(shí)，方程恰有一個(gè)實(shí)根；
（2）當(dāng)a=0或a=-4時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根；
（3）當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，方程有三個(gè)不等實(shí)根；
（4）由x→+∞，f（x）→+∞；x→-∞，f（x）→-∞，
則方程至少有一個(gè)實(shí)根，不可能沒有實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．