Question

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F 分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過直線E、F的平面分別與棱BB′，DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，四邊形MENF的周長(zhǎng)最大；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，四邊形MENF的面積最�。�
③四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個(gè)多面體．
以上命題中正確命題的個(gè)數(shù)（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①判斷周長(zhǎng)的變化情況．②四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可．③求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．④計(jì)算兩個(gè)多面體的體積關(guān)系．

解答： 解：①因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變�。�當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大．
      所以當(dāng)x=0或x=1時(shí)周長(zhǎng)都為最大值．所以①錯(cuò)誤．
②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=

1

2

時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最�。�所以②正確．
③連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角形C'EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以③正確．
④因?yàn)镋，F(xiàn)是固定的中點(diǎn)，所以當(dāng)M在運(yùn)動(dòng)時(shí)，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的兩個(gè)多面體是完全相同的，所以它們的體積也是相同的．所以④正確．
所以四個(gè)命題中②③④是真命題．
所以選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高．