Question

（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.           

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.                      

（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，先列出定義域，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912222854637384/SYS201207091222580307907725_DA.files/image008.png">,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義在x處導(dǎo)數(shù)為x處切線(xiàn)斜率，列式；

求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)>0,<0分類(lèi)討論a的范圍，確定單調(diào)區(qū)間；

都有即

解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912222854637384/SYS201207091222580307907725_DA.files/image008.png">,                             . ………1分

.                                             ………2分

根據(jù)題意，，

所以，即，

解得.                                                   .………4分

（Ⅱ）.

（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912222854637384/SYS201207091222580307907725_DA.files/image016.png">，所以，，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.                   ………6分

（2）當(dāng)時(shí)，

若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.  …8分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.                          ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知.

設(shè)，即.

.              ………10分

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	－	0	＋
		極小值

是在上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn)可見(jiàn)，                                       .………13分

所以，即，所以對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有.                                                   ………14分