Question

下列四個命題：①“a-b＞0”是“a²-b²＞0”的充分條件；②“tanα=1”是“α=

π

4

”的必要條件；③“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充要條件；④“兩個三角形相似”是“兩個三角形面積相等”的既不充分也不必要條件．其中真命題的序號是

②、④

（把符合要求的命題序號都填上）．

Answer 1

分析：通過舉出反例：a=1，b=-1，可以說明①是假命題；根據(jù)角

π

4

的正切值，結(jié)合必要條件的含義，可得②是真命題；根據(jù)兩個數(shù)的積不等于0的含義，可得“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充分不必要條件，得到③是假命題；根據(jù)充分必要條件的含義，通過舉出反例可得到④是真命題．由此可得正確答案．

解答：解：對于①，“a-b＞0”不是“a²-b²＞0”的充分條件，
可舉出反例：a=1，b=-1，滿足“a-b＞0”，
但是“a²-b²＞0”不成立，故①是假命題；
對于②，若“α=

π

4

”成立，則tanα=tan

π

4

=1，結(jié)論“tanα=1”成立，
故“tanα=1”是“α=

π

4

”的必要條件，②是真命題；
對于③“xy≠0”說明x≠0且y≠0，
所以“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充分非必要條件，故③是假命題；
對于④“兩個三角形相似”是“兩個三角形面積相等”既充分也不必要條件，
比如兩個相似三角形的相似比為2：1時，它們的面積不相等，說明充分性不成立，
再如△ABC是邊長為2的等邊三角形，△DEF是兩條直角邊分別為2和

3

的直角三角形，
則△ABC和△DEF的面積都等于

3

，但它們顯然是不相似的，故④是真命題．
根據(jù)以上所述，可得真命題序號為②④
故答案為：②④

點評：本題根據(jù)幾個命題真假的判斷，著重考查了充分條件、必要條件、充要條件和既不充分與不必要條件的理解與判斷，屬于中檔題．