Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a_n-1b_n，b_n=．
（1）證明：對(duì)任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁+b₁=a+（1-a）=1，命題成立；
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時(shí)命題成立，即a_k+b_k=1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=（a_k+1）•b_k+1=（a_k+1）•===1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
由①、②可知，a_n+b_n=1對(duì)n∈N^*恒成立．
（2）∵a_n+1=a_nb_n+1===，
∴==+1，
即-=1．
數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為=，
=+（n-1）×1，從而a_n=．
分析：（1）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立，然后假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立即可．
（2）利用已知和（1）的結(jié)果，化簡(jiǎn)a_n+1=a_nb_n+1推出-=1．然后說明數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為=，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，注意n=k+1的證明過程，增加了2k個(gè)區(qū)域，這是證明的關(guān)鍵所在，兩個(gè)步驟缺一不可．注意（2）的裂項(xiàng)法的應(yīng)用．