Question

已知函數f（x）=log_ax在x∈[3，+∞）上，恒有|f（x）|＞1，則實數a的取值范圍是

1

3

＜a＜3且a≠1

．

Answer 1

分析：當a＞1時，不等式即 logax＞1=logaa，故a＜x對任意x∈[3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3，當0＜a＜1時，不等式即-logax=loga1x＞1=logaa，故a＜x對任意x∈[3，+∞）恒成立，故 13＜a＜1，將兩種情況下求得的a的取值范圍再取并集．

解答：解：當a＞1時，∵x∈[3，+∞），∴y=f（x）=log_ax＞0，
由|f（x）|＞1，得log_ax＞1=log_aa，∴a＜x對任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：1＜a＜3．
當0＜a＜1時，
∵x∈[3，+∞），
∴y=f（x）=log_ax＜0，
由|f（x）|＞1，得-log_ax=log_a

1

x

＞1=log_aa，
∴a＞

1

x

對任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：

1

3

＜a＜1． 
綜上：a∈（

1

3

，1）∪（1，3）．
故答案為：

1

3

＜a＜3且a≠1．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，對數函數的單調性及特殊點，體現了分類討論的數學思想．