在數(shù)列{}中，，并且對任意都有成立，令．

（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，證明：

 

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（I）、當(dāng)n=1時，先求出b1=3，當(dāng)n≥2時，求得b n+1與bn的關(guān)系即可知道bn為等差數(shù)列，然后便可求出數(shù)列{bn}的通項公式；

（II）根據(jù)（I）中求得的bn的通項公式先求出數(shù)列{}的表達(dá)式，然后求出Tn的表達(dá)式，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明<Tn＜

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，,當(dāng)時，

由得所以------------4分

所以數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為-------------5分

（Ⅱ）------------------------------------7分

-------------------11分

可知Tn是關(guān)于變量n的增函數(shù)，當(dāng)n趨近無窮大時，的值趨近于0，

當(dāng)n=1時Tn取最小值，故有----------------14分

考點：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題

點評：解決該試題的關(guān)鍵是運用整體的思想來表示出遞推關(guān)系，然后進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性的思想來放縮得到證明。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=
1
3
，并且對于任意n∈N*，且n＞1時，都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（II）求數(shù)列{
an
n
}的前n項和Tn，并證明Tn＜
3
4
-
1
n+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=1，并且對于任意n∈N*，都有an+1=
an
2an+1
．
證明：數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn；
（2）記bn=an-
2
，若自然數(shù)n1，n2，…，nk，…滿足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比數(shù)列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
（3）試問：在數(shù)列{an}中是否存在三項ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：陜西省模擬題 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，，并且對任意n∈N*，n≥2都有an·an-1=an-1-an成立，令，
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求數(shù)列{}的前n項和Tn。

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