【題目】如圖所示，是臨江公園內(nèi)一個(gè)等腰三角形形狀的小湖（假設(shè)湖岸是筆直的），其中兩腰米，.為了給市民營(yíng)造良好的休閑環(huán)境，公園管理處決定在湖岸，上分別取點(diǎn)，（異于線段端點(diǎn)），在湖上修建一條筆直的水上觀光通道（寬度不計(jì)），使得三角形和四邊形的周長(zhǎng)相等.

（1）若水上觀光通道的端點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），求此時(shí)水上觀光通道的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)為多長(zhǎng)時(shí)，觀光通道的長(zhǎng)度最短？并求出其最短長(zhǎng)度.

【答案】(1) 水上觀光通道的長(zhǎng)度為米;(2) 當(dāng)米時(shí)，水上觀光通道的長(zhǎng)度取得最小值，最小值為米.

【解析】分析：（1）在等腰中，過(guò)點(diǎn)作于，先計(jì)算出，，再利用余弦定理求出EF的長(zhǎng)度.(2) 設(shè)，，先求出EF的表達(dá)式，再利用基本不等式求其最短長(zhǎng)度.

詳解：（1）在等腰中，過(guò)點(diǎn)作于，

在中，由，即，∴，，

∴三角形和四邊形的周長(zhǎng)相等.

∴，即，

∴.

∵為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴，，

在中，，

∴米.

即水上觀光通道的長(zhǎng)度為米.

（2）由（1）知，，設(shè)，，在中，由余弦定理，得

.

∵，∴.

∴，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，

所以，當(dāng)米時(shí)，水上觀光通道的長(zhǎng)度取得最小值，最小值為米.

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（）這名學(xué)生在途中遇到次紅燈次數(shù)的概率．

（）這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)了個(gè)路口的概率．

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【解析】分析：根據(jù)基本不等式，我們可以判斷出“”?“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1”與“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1”?“a=

”真假，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．

解答：解：當(dāng)“a=”時(shí)，由基本不等式可得：

“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1”一定成立，

即“a=”?“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1”為真命題；

而“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1的”時(shí)，可得“a≥”

即“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1”?“a=”為假命題；

故“a=”是“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+≥1的”充分不必要條件

故選A

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【結(jié)束】
9

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