Question

設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，若對(duì)于[1，2]，

[0，1]，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），；（3）.

【解析】

試題分析：(1)將代入，分別得到，，再由點(diǎn)斜式得到在處的切線方程為；（2）將代入得到，從而得到遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），；（3）先將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后討論的范圍，又在[1,2]上最小值為.由單調(diào)性及從而得到的取值范圍為.

試題解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040504150302065587/SYS201404050415466612235427_DA.files/image017.png">

，

當(dāng)時(shí)，，，

，故.

所以在處的切線方程為.

(2) 當(dāng)時(shí)，.

故當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），.

(3)由（2）知，在（1,2）上為增函數(shù)，

所以在[1,2]上的最小值為，

若對(duì)于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.

又，

當(dāng)時(shí)，在[0,1]上為增函數(shù)，與題設(shè)不符.

當(dāng)時(shí)，，由及，得；

當(dāng)時(shí)，在[0,1]上為減函數(shù)，及得.

綜上所述，的取值范圍為.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)；2.直線的方程；3.函數(shù)的單調(diào)性與最值.