Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=2x y′=y

得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M（x，y），求x+2

3

y的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用ρ²=x²+y²，將ρ=1轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程的上式化簡(jiǎn)成t=2（x-1）代入下式消去參數(shù)t即可；
（2）根據(jù)伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數(shù)方程表示出曲線上任意一點(diǎn)，代入x+2

3

y，根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求出最小值．

解答：解：（1）直線l的參數(shù)方程為

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t為參數(shù)）．
由上式化簡(jiǎn)成t=2（x-1）代入下式得l：

3

x-y+2-

3

=0
根據(jù)ρ²=x²+y²，進(jìn)行化簡(jiǎn)得C：x²+y²=1（2分）
（2）∵

x′=2x y′=y

∴

x= x′ 2 y=y′

代入C得∴C′：

x2

4

+y2=1（5分）
設(shè)橢圓的參數(shù)方程

x=2cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù)）（7分）
則x+2

3

y=2cosθ+2

3

sinθ=4sin(θ+

π

6

)（9分）
則x+2

3

y的最小值為-4．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，以及利用橢圓的參數(shù)方程求最值問題，屬于基礎(chǔ)題．