對(duì)于函數(shù)f（x）=cosx+sinx，給出下列四個(gè)命題：①存在，使；②存在，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；③存在ϕ∈R，使函數(shù)f（x+ϕ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱．其中正確命題的序號(hào)是    ．
【答案】分析：利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)y=sinx+cosx為sin（x+），
確定函數(shù)的值域，判斷①的真假；
找出特殊值判斷②；
函數(shù)的對(duì)稱軸判斷③的真假；
將 代入函數(shù)解析式成立，說明④正確．
解答：解：函數(shù)y=sinx+cosx=sin（x+），
①時(shí) y∈（1，]，因?yàn)?（1，]，所以本選項(xiàng)為真命題；
②f（x+α）=f（x+3α）說明2α是函數(shù)的周期，函數(shù)f（x）的周期為2π，顯然本選項(xiàng)為假命題；
③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且有對(duì)稱軸，適當(dāng)平移即可滿足題意，本選項(xiàng)為真命題；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，當(dāng)x=時(shí)f（ ）=0，滿足題意，本選項(xiàng)為真命題，
則其中正確命題的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠充分利用已知條件，靈活利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x）=x2-2x+k，k∈R，當(dāng)a+b≤2時(shí)，在定義域[a，b]內(nèi)值域也是[a，b]，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若x0∈R使得f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b∈N*)，有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)-1，1，且f（-2）＜f（-1），則函數(shù)f（x）的解析式為
f（x）=
x2+1
2x
f（x）=
x2+1
2x
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)①f（x）=|x+2|；②f（x）=（x-2）2；③f（x）=cos（x-2），現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：p：f（x+2）是偶函數(shù)；q：f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；則使命題”（￢p）且q”為假，命題“（￢p）或q”為真的函數(shù)序號(hào)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+
x+2
是“科比函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍                            （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N）有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且f（-2）＜-
1
2
，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，求數(shù)列通項(xiàng)an；
（3）如果數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=f（an），求證：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an＜3成立．

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